Ringkasan Atom Hidrogen

Ringkasan Atom Hidrogen

Atom hydrogen terdiri dari satu electron  dan inti yang mengandung satu proton. Antara proton dan electron bekerja gaya elektrostatik  atau Coulomb (F_c). Energi  potensial system atom hydrogen adalah :

Dalam system atom hydrogen massa partikel diganti dengan massa tereduksi    , sehingga persamaan Schrodinger atom hydrogen   . Pada system atom hydrogen digunakan koordinat bola, sehingga persamaan Schrodinger atom hydrogen menjadi

  . Persamaan Schrodinger 3D atom  hydrogen kemudian dipecah-pecah menjadi fungsi gelombang yang hanya mengandung satu variabel saja, sehingga dihasilkan tiga bentuk persamaan :

1.     

2.     

3.       

Fungsi gelombang untuk persamaan pertama adalah   karena  berharga dari 0 samapai 2 maka :

Dengan menggunakan formula matematika, maka   persamaan ini benar apabila,  bilangan m ini disebut bilangan kuantum magnetic, sehingga penyelesaian dari  persamaan Schrodinger atom hydrogen yang pertama akan menghasilkan bilangan kuantum magnetic.

Bentuk fungsi gelombang penyelesaian persamaan kedua adalah :

 Fungsi gelombang ini ditentukan oleh dua dua tetapan yaitu l dan m. tetapan m sudah diketahui sebagai bilangan kuantum magnetic., sedangkan tetapan l disebut bilangan kuantum azimuth atau bilangan kuantum momen sudut. Bentuk tetapan normalisasinya yaitu :

 . persamaan normalisasi ini memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum l dan m. Pembilang pada persamaan tetapan normalisasi di atas mengandung suku factorial,  . Karena bilangan factorial terkecil adalah 0!, dan telah diketahui bahwa m berharga 0, ±1, ±2 dan seterusnya, maka ℓ mempunyai harga dari 0, 1, 2, 3 dst, dimana tidak dibolehkan /m/ > ℓ. Dengan demikian harga terbesar dari m adalah ±ℓ .

/m/ ≤ ℓ

Energy atom hydrogen akan muncul pada penyelesaian persamaan diferensial ketiga dari pemecahan persamaan Schrodinger atom hydrogen. Bentuk fungsi gelombang penyelesaian persamaan ketiga adalah  . Fungsi gelombang radial () ditentukan oleh n dan l. tetapan l merupakan penyelesaian persamaan kedua, sedangkan n disebut bilangan kuantum utama. Tetapan normalisasi fungsi gelombang radial adalah  persamaan ini memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum n dan l. Pembilang pada tetapan normalisasi di atas mengandung faktorial, (n - ℓ -1)!. Karena bilangan faktorial terkecil adalah 0, maka harga ℓ terbesar yang dibolehkan adalah:

(n - ℓ -1) = 0

ℓ = n-1 batasan umum kedua bilangan kuantum n dan ℓ adalah ℓ ≤ n-1. Karena harga terkecil dari ℓ adalah 0 (nol), maka n mempunyai harga dari 1, 2, 3, dst.

Energy atom hydrogen diperoleh dari penyelesaian persamaan ketiga atom hydrogen yang harganya   besarnya energy hanya ditentukan oleh bilangan kuantum n, sehingga bilangan kuantum ini menentukan tingkat energy utama atom, selain itu bilangan kuantum ini juga menentukan besarnya ukuran orbital dan menentukan nomor kulit. Karena energi atom hidrogen dan atom seperti hidrogen, yaitu spesi yang hanya mempunyai satu elektron hanya ditentukan oleh bilangan kuantum utama, sedangkan setiap fungsi gelombang penyelesaian atom hidrogen ditentukan oleh 3 set bilangan kuantum, yaitu n, ℓ, dan m, maka kebanyakan tingkat energinya terdegenerasi. ψ₍₁₀₀₎ < ψ₍₂₀₀₎ = ψ₍₂₁₀₎ = ψ_(21-1) = ψ₍₂₁₊₁₎ < ψ₍₃₀₀₎ < dst Pada atom berelektron banyak, gaya yang bekerja tidak hanya gaya tarik elektrostatik antara elektron dengan inti atom, tetapi juga terdapat gayatolak elektrostatik antara elektron satu dengan elektron yang lain. Dengan demikian, Energi atom berelektron banyak menjadi kurang terdegenerasi dibandingkan dengan energi atom seperti hidrogen, dimana energi atom berelektron banyak ditentukan oleh tidak hanya bilangan kuantum utama, melainkan ditentukan juga oleh bilangan kuantum azimut. Urutan tingkat energi fungsi gelombang menjadi : ψ(100) < ψ(200) < ψ(210) = ψ(21-1) = ψ(21+1) < ψ(300) < dst.

Partikel (elektron) atom hidrogen bergerak mengelilingi inti atom sehingga elektron mempunyai momentum sudut. Momentum sudut orbital dapat diperoleh dengan mengerjakan operator kuadrat momentuk sudut terhadap fungsi gelombang penyelesaian atom hydrogen:

Ĺ2 Ψ(r,θ,φ) = ℓ(ℓ+1)ħ2 Ψ(r,θ,φ). Persamaan ini  menunjukkan bahwa fungsi gelombang penyelesaian atom hidrogen adalah fungsi eigen terhadap operator kuadrat momentum sudut dengan nilai eigen adalah ℓ(ℓ+1)ħ2. Nilai eigen ini adalah besaran kuadrat momentum sudut orbital atom hidrogen. Dengan demikian, momentum sudut orbital atom hidrogen adalah terkuantisasi yang besarnya adalah [ℓ(ℓ+1)]1/2 ħ. Besarnya momentum sudut orbital hanya ditentukan oleh bilangan kuantum azimut, disamping menentukan besarnya momentum sudut orbital, bilangan kuantum azimut juga menentuka jenis orbital sekaligus bentuk orbital. Dalam kaitan dengan energi orbital atom berelektron banyak, bilangan kuantum azimut menentukan tingkat energi tambahan yang disebut dengan sub kulit.

            Untuk kepentingan menjelaskan gejala fisis yang berhubungan dengan sifat atom, disamping diperlukan pengetahuan tentang besarnya momentum sudut orbital tetapi juga perlu diketahui bagaimana arah-arah dari momentum sudut tersebut. Berhubungan dengan keperluan ini, maka dikenalkan operator momentum sudut arah z, yaitu operator yang digunakan untuk menentukan besarnya momentum sudut pada arah z (suatu arah yang ditentukan secara bebas), Ĺz, yang bentuknya Ĺz = -iħ ∂/∂φ. Pengerjaan fungsi gelombang atom hidrogen terhadap operator Ĺz menghasilkan suatu fungsi eigen dengan penyelesaian : Ĺz Ψ(r,θ,φ) = mħΨ(r,θ,φ).  Dengan demikian, besarnya momentum sudut arah z adalah terkuantisasi yang ditentukan oleh bilangan kuantum m. Apabila tidak ada faktor pengarah dari luar, dalam atom sebenarnya tidak ada arah z. Arah z baru akan ada apabila ada gaya luar seperti medan magnet yang akan memberikan arah z sesuai dengan arah medan magnet. Oleh sebab itu, bilangan kuantum m disebut dengan bilangan kuantum magnetik yang menyatakan arah momentum sudut orbital. Bilangan kuantum magnetik juga sekaligus memberikan orientasi atau arah dari orbital.

            Perkembangan lebih maju tentang pengamatan spektrum atom menunjukkan bahwa garis spektrum yang semula dianggap tunggal, di dalam medan magnet yang tinggi, ternyata terdiri dari dua garis yang sangat berdekatan satu sama lain. Hasil percobaan menggunakan bubuk perak menunjukkan bahwa elektron mempunyai dua arah putar spin. Kedua harga arah spin ini dinotasikaan dengan ms = ½ dan ms = - ½ yang masing-masing bermakna arah putar searah jarum jam dan berlawanan dengan arah putar jarum jam. Jawaban mekanika kuantum tentang persoalan spin elektron baru dikemukakan kemudian (1928), yaitu dengan memasukkan faktor relativitas ke dalam persamaan schrodinger atom hidrogen. Penyelesaian dari mekanika kuantum relativistik menghasilkan fungsi gelombang yang disamping ditentukan oleh bilangan kuantum n, ℓ, dan m, juga ditentukan oleh bilangan kuantum spin, s, yang berharga ½.. Momentum sudut spin dan momentum sudut spin arah sumbu z dapat ditentukan dengan cara yang mirip dengan momentum sudut orbital dan momentum sudut orbital arah z, yaitu dengan mengerjakan fungsi gelombang terhadap operator momentum sudut spin dan operator momentum sudut spin arah z.

Ŝ Ψn,ℓ,m,s(r,θ,φ) = [s(s+1)]1/2 ħ Ψn,ℓ,m,s(r,θ,φ), dimana s = ½

Ŝz Ψn,ℓ,m,s(r,θ,φ) = ms ħ Ψn,ℓ,m,s(r,θ,φ), dimana ms = - ½ dan + ½